题目
题型:不详难度:来源:
已知函数
(1)若函数在上为增函数,求正实数的取值范围;
(2)当时,求在上的最大值和最小值;
(3) 当时,求证:对大于1的任意正整数,都有。
答案
函数在上为增函数,当时,令
即 所以
解析
试题分析:(1),
函数在上为增函数,对任意的恒成立,
对任意的恒成立,即任意的恒成立,…………2分
而当时,, ……………………4分
(2)当时,
当变化时,,的变化情况如下表
1 | 2 | ||||
| 0 | | |||
0 |
所以在区间上的最大值为,最小值为 …………8分
(3)当时,,,
所以函数在上为增函数
当时,令
即 ……………………10分
所以
所以
即对大于1的任意正整数,都有。…………12分
点评:导数主要用于判定函数单调性,求最值,证明不等式恒成立,其中证明不等式或已知不等式恒成立求参数问题常转化为求函数最值问题
核心考点
试题【(本小题满分12分)已知函数(1)若函数在上为增函数,求正实数的取值范围;(2)当时,求在上的最大值和最小值;(3) 当时,求证:对大于1的任意正整数,都有。】;主要考察你对函数的相关概念等知识点的理解。[详细]
举一反三
(I)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若恒成立,试确定实数k的取值范围;
(Ⅲ)证明:
已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(-1)=-2,求f(x)在[-2,1]上的值域。
提高二环路的车辆通行能力可有效改善整个城区的交通状况,在一般情况下,二环路上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数。当二环路上的车流密度达到600辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过60辆/千米时,车流速度为80千米/小时,研究表明:当60≤x≤600时,车流速度v是车流密度x的一次函数。
(Ⅰ)当0≤x≤600时,求函数f(x)的表达式;
(Ⅱ)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过二环路上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值。(精确到1辆/小时)
A.8 | B.2或-2 | C.4 | D.-4 |
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