题目

题型：不详难度：来源：

有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响。
据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表：

所用的时间（天数）	10	11	12	13
通过公路1的频数	20	40	20	20
通过公路2的频数	10	40	40	10

假设汽车A只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发。
（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径；
（2）若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元（其它费用忽略不计），此项费用由生产商承担。如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给生产商2万元。如果汽车A、B长期按（1）所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大。
（注：毛利润=（销售商支付给生产商的费用）—（一次性费用））

答案

（1）A选路1，B选路2； （2）B的利润大

解析

试题分析：（I）求出频率分布表，计算汽车A在约定日期（某月某日）的前11天出发选择公路1，2将货物运往城市乙的概率；汽车B在约定日期（某月某日）的前12天出发选择公路1，2将货物运往城市乙的概率，即可得到结论；
（II）分别确定汽车A、B为生产商获得毛利润的概率分布列，求出期望，比较期望值，即可得到结论
解：（I）频率分布表，如下：

所用的时间（天数）	10	11	12	13
通过公路1的频数	0.2	0.4	0.2	0.2
通过公路2的频数	0.1	0.4	0.4	0.1

设A₁，A₂分别表示汽车A在约定日期（某月某日）的前11天出发选择公路1，2将货物运往城市乙；B₁，B₂分别表示汽车B在约定日期（某月某日）的前12天出发选择公路1，2将货物运往城市乙．
∵P（A₁）=0.2+0.4=0.6，P（A₂）=0.1+0.4=0.5，∴汽车A选择公路1，
∵P（B₁）=0.2+0.4+0.2=0.8，P（B₂）=0.1+0.4+0.4=0.9，∴汽车A选择公路2；
（II）设X表示汽车A选择公路1，销售商支付给生产商的费用，则X=42，40，38，36
X的分布列如下：

X	42	40	38	36
P	0.2	0.4	0.2	0.2

∴E（X）=42×0.2+40×0.4+38×0.2+36×0.2=39.2
∴汽车A选择公路1时的毛利润为39.2-3.2=36.0（万元）
设Y为汽车B选择公路2时的毛利润，则Y=42.4，40.4，38.4，36.4
分布列如下

Y	42.4	40.4	38.4	36.4
P	0.1	0.4	0.4	0.1

∴E（Y）=42.4×0.1+40.4×0.4+38.4×0.4+36.4×0.1=39.4
∵36.0＜39.4，∴汽车B为生产商获得毛利润更大．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查比较两个变量的期望值，得到最优思路，是一个利用概率知识解决实际问题的题目，是一个综合题目