已知正数x，y，z满足5x+4y+3z=10．（1）求证：25x 24y+3z+16y23z+5x+9z25x+4y≥5；（2）求9x2+9y2+z2的最小值． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知正数x，y，z满足5x+4y+3z=10．
（1）求证：

25x 2

4y+3z

16y2

3z+5x

9z2

5x+4y

≥5；
（2）求9x2+9y2+z2的最小值．

答案

（1）根据柯西不等式，得[(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)][

25x2

4y+3z

16y2

3z+5x

9z2

5x+4y

]≥（5x+4y+3z）²
因为5x+4y+3z=10，所以

25x2

4y+3z

16y2

3z+5x

9z2

5x+4y

≥

102

=5．
（2）根据均值不等式，得9x2+9y2+z2≥2

9x2•9y2+z2

=2•3x2+y2+z2，
当且仅当x²=y²+z²时，等号成立．
根据柯西不等式，得（x²+y²+z²）（5²+4²+3²）≥（5x+4y+3z）²=100，
即（x²+y²+z²）≥2，当且仅当

时，等号成立．
综上，9x2+9y2+z2≥2•32=18．

核心考点

试题【已知正数x，y，z满足5x+4y+3z=10．（1）求证：25x 24y+3z+16y23z+5x+9z25x+4y≥5；（2）求9x2+9y2+z2的最小值．】；主要考察你对柯西不等式等知识点的理解。[详细]

举一反三

函数y=5

x-4

+12

5-x

的最大值是______．

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设

=(1，1，-2)，

=(x，y，z)，若x²+y²+z²=16，则

•

的最大值为______．

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（1）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=

3	3
c	d

，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为

，属于特征值1的一个特征向量为

-2

，求矩阵A．
（2）选修4-4：坐标与参数方程
以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的极坐标方程为psin（θ-

）=6，圆C的参数方程为

x=10cosθ

y=10sinθ

，（θ为参数），求直线l被圆C截得的弦长．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a²+2b²+3c²+6d²=5试求a的最值．

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（1）选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量

，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（3，0），求矩阵M．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
过点M（3，4），倾斜角为

的直线l与圆C：

x=2+5cosθ

y=1+5sinθ

（θ为参数）相交于A、B两点，试确定|MA|•|MB|的值．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e=8，a²+b²+c²+d²+e²=16，试确定e的最大值．

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空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z）是以原点为球心，1为半径的球面上任意一点，则x+y+

z的最大值等于______．

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