空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z）是以原点为球心，1为半径的球面上任意一点，则x+y+2z的最大值等于______． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z）是以原点为球心，1为半径的球面上任意一点，则x+y+

z的最大值等于______．

答案

由已知x，y，z∈R，x²+y²+z²=1，
和柯西不等式（a²+b²+c²）（e²+f²+g²）≥（ae+bf+cg）²
则构造出（1²+1²+

²）（x²+y²+z²）≥（x+y+

z）²．
即：（x+y+

z）²≤4
即：x+y+

z的最大值为2．
故答案为：2．

核心考点

试题【空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z）是以原点为球心，1为半径的球面上任意一点，则x+y+2z的最大值等于______．】；主要考察你对柯西不等式等知识点的理解。[详细]

举一反三

设a，b，c，x，y，z是正数，且a²+b²+c²=10，x²+y²+z²=40，ax+by+cz=20，则

a+b+c

x+y+z

=（　　）

A．

B．

C．

D．

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三题中任选两题作答
（1）（2011年江苏高考）已知矩阵A=

1	1
2	1

，向量β=

，求向量α，使得A²α=β
（2）（2011年山西六校模考）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为(4，

)，若直线l过点P，且倾斜角为

，圆C以M为圆心、4为半径．
①求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程； ②试判定直线l和圆C的位置关系．
（3）若正数a，b，c满足a+b+c=1，求

3a+2

3b+2

3c+2

的最小值．

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本题有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分
（1）二阶矩阵M对应的变换将向量

-1

，

-2

分别变换成向量

-2

，

-2

，直线l在M的变换下所得到的直线l′的方程是2x-y-1=0，求直线l的方程．
（2）过点P（-3，0）且倾斜角为30°的直线l和曲线C：

x=s+

y=s-

（s为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．
（3）若不等式|a-1|≥x+2y+2z，对满足x²+y²+z²=1的一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．

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若a_i＞0（i=1，2，3，…，n），且a₁+a₂+…+a_n=1，证明：a₁²+a₂²+…+a_n²≥

．（n≥2，n∈N）

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已知x+y+z=1，求证x2+y2+z2≥

．

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