题目

题型：不详难度：来源：

本题有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分
（1）二阶矩阵M对应的变换将向量

1 -1

，

-2 1

分别变换成向量

3 -2

，

-2 1

，直线l在M的变换下所得到的直线l′的方程是2x-y-1=0，求直线l的方程．
（2）过点P（-3，0）且倾斜角为30°的直线l和曲线C：

x=s+ 1 s y=s- 1 s

（s为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．
（3）若不等式|a-1|≥x+2y+2z，对满足x²+y²+z²=1的一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．

答案

（1）设M=

a b c d

，则由题知

a b c d

1 -1

=

3 -2

，

a b c d

-2 1

=

-2 -1

所以

a-b=3 c-d=-2 -2a+b=-2 -2c+d=-1

，解得

a=-1 b=-4 c=3 d=5

，所以M=

-1 -4 3 5

．
设点P（x，y）是直线l上任一点，在M变换下对应的点为P′（x₀，y₀），
那么

-1 -4 3 5

x y

=

x0 y0

即

x0=-x-4y y0=3x+5y

．
因为2x₀-y₀-1=0，∴2（-x-4y）-（3x+5y）-1=0 即5x+13y+1=0，
因此直线l的方程是5x+13y+1=0．
（2）由已知，直线的参数方程为

x=-3+ 3 2 t y= 1 2 t

t为参数），
曲线

x=s+ 1 s y=s- 1 s

s为参数）可以化为x²-y²=4．
将直线的参数方程代入上式，得t2-6

3

t+10=0．
设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，∴t₁+t₂=，t₁t₂=10．
∴AB=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=2

17

．
（3）由柯西不等式9=（1²+2²+2²）•（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+2•z）²
即x+2y+2z≤3，当且仅当

x 1 = y 2 = z 2 ＞0 x2+y2+z2=1

即x=

1

5

，y=

2

5

，z=

2

5

时，x+2y+2z取得最大值3．
∵不等式|a-1|≥x+2y+2z，对满足x²+y²+z²=1的一切实数x，y，z恒成立，
只需|a-1|≥3，解得a-1≥3或a-1≤-3，∴a≥4或∴a≤-2．
即实数的取值范围是（-∞，-2]∪[4，+∞）．