题目

题型：不详难度：来源：

选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程
为ρsin²θ=2acosθ（a＞0），过点P（-2，-4）的直线l的参数方程为

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．
（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）若|PA|•|PB|=|AB|²，求a的值．

答案

（I）由ρsin²θ=2acosθ（a＞0）得ρ²sin²θ=2aρcosθ（a＞0）
∴曲线C的直角坐标方程为y²=2ax（a＞0）…（2分）
直线l的普通方程为y=x-2…（4分）
（II）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y²=2ax中，
得t²-2

2

（4+a）t+8（4+a）=0
设A、B两点对应的参数分别为t₁、t₂
则有t₁+t₂=2

2

（4+a），t₁t₂=8（4+a）…（6分）
∵|PA|⋅|PB|=|AB|²
∴t₁t₂=（t₁-t₂）²，即（t₁+t₂）²=5t₁t₂…（8分）
∴[2

2

（4+a）]²=40（4+a）
化简得，a²+3a-4=0
解之得：a=1或a=-4（舍去）
∴a的值为1…（10分）