题目

题型：不详难度：来源：

（1）已知矩阵M=

2 0 0 1 2

，矩阵M对应的变换把曲线y=x²变为曲线C，求C的方程．
（2）已知a，b，c为正实数，求证：

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

+abc≥2

3

．

答案

（1）设P（x，y）是所求曲线C上的任意一点，它是曲线y=x²上的点P₀（x₀，y₀）在矩阵M变换下的对应点，
则有（x，y）=（x₀，y₀）M，
∵矩阵M=

2 0 0 1 2

，代入可得

x=2x0 y= 1 2 y0

，
∴

x0= 1 2 x y0=2y

，
∵点P₀在曲线y=x²上，
∴2y=

1

4

x²，
∴C的方程为x²=8y；
（2）由于a，b，c为正实数，根据平均值不等式可得

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

≥

3

abc

，
∴

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

+abc≥

3

abc

+abc≥2

3

，
即证．