设a＞0，b＞0，称2aba+b为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

设a＞0，b＞0，称

2ab

a+b

为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连接OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段CD的长度是a，b的几何平均数，那么a，b的调和平均数是线段______的长度．魔方格

答案

依题意得，Rt△DAC∽Rt△BDC，
∴

，
∵AC=a，CB=b，
∴

，CD²=ab（射影定理）；
同理，Rt△DCO∽Rt△EDC?CD²=DE?OD，又OD=

a+b

，
∴DE=

CD2

2ab

a+b

，此即为a，b的调和平均数．
故答案为：DE．

核心考点

试题【设a＞0，b＞0，称2aba+b为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆】；主要考察你对相似三角形的判定及有关性质等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图，设△ABC和△A₁B₁C₁的三对对应顶点的连线AA₁、BB₁、CC₁相交于一点O，且

OA1

OB1

OC1

．试求

S△ABC

S△A1B1C1

的值．

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如图，P为半⊙O直径BA延长线上一点，PC切半⊙O于C，且PA：PC=2：3，则sin∠ACP的值为 ______．魔方格

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△ABC中，AB＜AC，AD、AE分别是BC边上的高和中线，且∠BAD=∠EAC，证明∠BAC是直角．

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（几何证明选讲选做题）
如图，AB是圆O的直径，直线CE与圆O相切于点C，AD⊥CE于点D，若圆O的面积为4π，∠ABC=30°，则AD的长为______．魔方格

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如图，在正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上， $数学公式$ ，AE=BE，则有（　　）

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