题目

题型：广东省期中题难度：来源：

对于正整数a，b，存在唯一一对整数q和r，使得，.特别地，当时，称b能整除a，记作，已知
（1）存在，使得，试求，的值；
（2）求证：不存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则；
（3）若，(指集合B中的元素的个数)，且存在，则称为“和谐集”，.求最大的，使含m的集合A的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由．

答案

解：(1)因为，
所以.                  
 (2)证明：假设存在这样的函数，使得对任意的整数，
若，则.  
设，
由已知，由于，
所以.
不妨令，这里，且，
同理，，且，
因为只有三个元素，
所以.即，
但是，与已知矛盾.
因此假设不成立，即不存在这样的函数，使得对任意的整数，
若，则.                                    
(3)当时，记，，
记,则，
显然对任意，不存在，使得成立.
故是非“和谐集”，此时.
同样的，当时，存在含的集合的有12个元素的子集为非“和谐集”.      
因此m≤7
下面证明：含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”.
设，若中之一为集合的元素，
显然为”.现考虑都不属于集合，构造集合，，，，，.
以上每个集合中的元素都是倍数关系.
考虑的情况，也即中5个元素全都是的元素，中剩下6个元素必须从这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，
即集合中至少有两个元素存在倍数关系.
综上所述，含7的任意集合的有12个元素的子集为”，即的最大值为7.