题目

题型：不详难度：来源：

阅读下面一段文字：已知数列{a_n}的首项a₁=1，如果当n≥2时，a_n-a_n-1=2，则易知通项a_n=2n-1，前n项的和S_n=n²．将此命题中的“等号”改为“大于号”，我们得到：数列{a_n}的首项a₁=1，如果当n≥2时，a_n-a_n-1＞2，那么a_n＞2n-1，且S_n＞n²．这种从“等”到“不等”的类比很有趣．由此还可以思考：要证S_n＞n²，可以先证a_n＞2n-1，而要证a_n＞2n-1，只需证a_n-a_n-1＞2（n≥2）．结合以上思想方法，完成下题：
已知函数f（x）=x³+1，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），若数列{a_n}的前n项的和为S_n，求证：S_n≥2ⁿ-1．

答案

∵a₁=1，a_n+1=a_n³+1，a_n≥1．…4′
∴有：a_n+1=a_n³+1≥a_n²+1≥2a_n，
∴

an+1

an

≥2．…8′
∴an=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a3

a2

•

a2

a1

•a1≥2n-1，
即a_n≥2^n-1．…11′
故Sn=a1+a2+…+an≥1+2+22+…+2n-1=

1-2n

1-2

=2n-1．
∴S_n≥2ⁿ-1成立．…14′