题目
题型:不详难度:来源:
(1)证明:;
(2)证明:.
答案
解析
试题分析:(1)借助导数证明函数在是单调函数,进而确定函数在上有且只有一个零点,进而证明;(2)先将原不等式化为两个不等式与,先证明不等式,方法1先证明不等式,然后利用放缩法证明,从而证明不等式成立,方法2是在不等式的基础上利用数学归纳法直接证明不等式成立;再证明不等式
先考察函数的单调性证明,然后就时,将对进行放缩,,进而证明。
试题解析:(1)因为,,且在上的图像是一条连续曲线,
所以函数在内有零点. 1分
因为,
所以函数在上单调递增. 2分
所以函数在上只有一个零点,且零点在区间内.
而是函数的零点,
所以. 3分
(2)先证明左边的不等式:
因为,
由(1)知,
所以. 4分
即.
所以. 5分
所以. 6分
以下证明. ①
方法1(放缩法):因为, 7分
所以
. 9分
方法2(数学归纳法):1)当时,,不等式①成立.
2)假设当()时不等式①成立,即
.
那么
.
以下证明. ②
即证.
即证.
由于上式显然成立,所以不等式②成立.
即当时不等式①也成立.
根据1)和2),可知不等式①对任何都成立.
所以. 9分
再证明右边的不等式:
当时,.
由于,,
所以. 10分
由(1)知,且,所以. 11分
因为当时,, 12分
所以当时,
.
所以当时,都有.
综上所述,. 14分
核心考点
举一反三
A. | B. | C. | D. |
(Ⅰ)求、、;
(Ⅱ)求的表达式;
(Ⅲ)令,求.
按照上面的规律,第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 .
, , ,
,
… … … …
若某数按上述规律展开后,发现等式右边含有“”这个数,则_______.
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