题目

题型：不详难度：来源：

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，AD=AB=

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2

CD=1，PD⊥面ABCD，PD=

2

，E是PC的中点
（1）证明：BE∥面PAD；
（2）求二面角E-BD-C的大小．

答案

（1）取PD的中点F，连结EF、AF，
∵E为PC中点，∴EF∥CD，且EF=

1

2

CD=1，
在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，∴EF∥AB，EF=AB，
四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF，
∵BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD．
（2）分别以DA、DB、DP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示
可得B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，

2

），E（0，1，

2

2

）
∴

DB

=（1，1，0），

BE

=（-1，0，

2

2

）
设

n

=（x，y，z）为平面BDE的一个法向量，则

n • DB =x+y=0 n • BE =-x+ 2 2 z=0

取x=1，得y=-1，z=

2

，

n

=（1，-1，

2

）
∵平面ABCD的一个法向量为

m

=（0，0，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

|m| • |n|

=

2

2

，可得＜

m

，

n

＞=45°
因此，二面角E-BD-C的大小为45°．