题目

题型：不详难度：来源：

如图，P-ABCD是正四棱锥，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，其中AB=2，PA=

6

．
（1）求证：PA⊥B₁D₁；
（2）求平面PAD与平面BDD₁B₁所成锐二面角的余弦值．

答案

以D₁为原点，D₁A₁所在直线为x轴，D₁C₁所在直线为y轴，D₁D所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则D₁（0，0，0），A₁（2，0，0），B₁（2，2，0），C₁（0，2，0），
D（0，0，2），A（2，0，2），B（2，2，2），C（0，2，2），
P（1，1，4）．
（1）证明：∵

AP

=（-1，1，2），

D1B1

=（2，2，0），
∴

AP

•

D1B1

=-2+2+0=0，
∴PA⊥B₁D₁．
（2）平面BDD₁B₁的法向量为

AC

=（-2，2，0）．

DA

=（2，0，0），

OP

=（1，1，2）．
设平面PAD的法向量为

n

=（x，y，z），则

n

⊥

DA

，

n

⊥

DP

．
∴

2x=0 x+y+2z=0

∴

x=0 y=-2z

．取

n

=（0，-2，1），
设所求锐二面角为θ，则
cosθ=

|n• AC |

|n|•| AC |

=

|0-4+0|

2 2 × 5

=

10

5

．