题目

题型：不详难度：来源：

如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，△OAB，,△，△，△都是正三角形。
（Ⅰ）证明直线∥；
（II）求棱锥F—OBED的体积。

答案

（1）见解析；（2）

解析

第一问中运用线面平行的性质定理，可以求证线线平行，结合了三角形的中位线定理。第二问中，求解棱锥的体积问题，一般就是求解底面积和高即可。先建立空间直角坐标系，然后表示三角形的面积，，，结合向量的关系式得到体积公式。
解：
（I）（综合法）
证明：设G是线段DA与EB延长线的交点. 由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以

=

    OB∥1/2DE，OB =1/2DE，OG=OD=2，   同理，设G’是线段DA与线段FC延长线的交点，有OG’=OD=2
又由于G和G’都在线段DA的延长线上，所以G与G’重合.
在△GED和△GFD中，由

=

 OB∥1/2DE，OB =1/2DE和OC∥1/2DF，OC=1/2DF可知B和C分别是GE和GF的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF.
（向量法）
过点F作FQAD，交AD于点Q，连QE，由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED，以Q为坐标原点，QE为X轴正向，QD为y轴正向，DF为z轴正向，建立如图所示空间直角坐标系.
由条件知
则有
所以即得BC∥EF.
（II）解：由OB=1，OE=2，，而△OED是边长为2的正三角形，故
所以
过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F—OBED的高，且FQ=，所以