题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
如图，是直角梯形，又，
，直线与直线所成的角为．

（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；

答案

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）或 。

解析

(I)证明即可.
(II) 取BC的中点N，连结AN,MN,可证出,
再作，交AC的延长线于H，连结MH，则由三垂线定理知，，
从而为二面角的平面角 ,然后解三角形求角即可.
解法一：
（Ⅰ）∵
∴，
又∵
∴                                  …………5分
（Ⅱ）取的中点，则，连结，
∵，∴，从而
作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知，，
从而为二面角的平面角                                  …………8分
直线与直线所成的角为
∴
在中，由余弦定理得
在中，
在中，
在中，
故二面角的平面角大小为                       …………12分
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）

由题意有，设，
则
由直线与直线所成的解为，得
，即，解得
∴，设平面的一个法向量为，
则，取，得                     …………8分
平面的法向量取为
设与所成的角为，则
显然，二面角的平面角为锐角，
故二面角的平面角大小为                           …………12分