题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，侧面⊥底面，，底面为直角梯形，其中
，O为中点.

（Ⅰ）求证：平面 ；
（Ⅱ）求锐二面角A—C₁D₁—C的余弦值.

答案

（Ⅰ）证明：见解析；（Ⅱ）所求锐二面角A—C₁D₁—C的余弦值为。

解析

(I)证明,即证:四边形AB₁CO为平行四边形.
(II)为的中点，，又侧面⊥底面，故⊥底面，然后建立直角坐标系,利用向量法求二面角,先求二面角两个面的法向量,然后再求法向量的夹角,根据法向量的夹角与二面角相等或互补来解.
（Ⅰ）证明：如图，连接，     …………..1分
则四边形为正方形，       …………..2分
，且  
故四边形为平行四边形，…………..3分
，            …………..4分
又平面，平面   ……..5分
平面                 …………..6分
（Ⅱ）为的中点，，又侧面⊥底面，故⊥底面，…………..7分

以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的坐标系，则
，…………..8分

，…………..9分
设为平面的一个法向量，由，得，
令，则………..10分
又设为平面的一个法向量，由，得，令
，则，………..11分
则，故所求锐二面角A—C₁D₁—C的余弦值为………..12分
注：第2问用几何法做的酌情给分.