题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分15分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，与平面所成角的正切值依次是和，，依次是的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

答案

（1）见解析；（2）直线与平面所成角的正弦值为. 

解析

本试题主要是考查了面面垂直和线面角的求解的综合运用。
（1）第一问中要证明面面垂直关键是证明线面垂直，然后利用判定定理得到。
（2）第二问先根据线面角的定义，作出线面角，然后利用直角三角形的边角的关系求解的得到。
解：（1）∵与平面所成角的正切值依次
是和,∴
∵平面,底面是矩形
∴平面  ∴
∵是的中点   ∴
∴        …………………………7分
（2）解法一：∵平面，∴，又,
∴平面，取中点，中点，联结，
则且，是平行四边形，
∴即为直线与平面所成的角. 在中，，，
，
∴直线与平面所成角的正弦值为. 
解法二：分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，依题意，，则各点坐标分别是
，，，，
，∴，，,
又∵平面，
∴平面的法向量为，
设直线与平面所成的角为，则
,         
∴直线与平面所成角的正弦值为.   …………………………15分
解：（1）∵与平面所成角的正切值依次
是和,∴
∵平面,底面是矩形
∴平面  ∴
∵是的中点   ∴
∴        …………………………7分
（2）解法一：∵平面，∴，又,
∴平面，取中点，中点，联结，
则且，是平行四边形，
∴即为直线与平面所成的角. 在中，，，
，
∴直线与平面所成角的正弦值为. 
解法二：分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，依题意，，则各点坐标分别是
，，，，
，∴，，,
又∵平面，
∴平面的法向量为，
设直线与平面所成的角为，则
,         
∴直线与平面所成角的正弦值为.   …………………………15分