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题目
题型:不详难度:来源:
已知正四棱柱中,.
(1)求证:
(2)求二面角的余弦值;
(3)在线段上是否存在点,使得平面平面,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

答案
(1)详见解析;(2)(3)存在,
解析

试题分析:(1)可证平面,从而可得。(2)(空间向量法)以为原点建立空间直角坐标系,如图。根据边长可得各点的坐标,从而可得各向量的坐标,根据向量垂直数量积为0可求平面的法向量,由(1)知平面,所以即为平面的法向量,先求两法向量所成角的余弦值,但应注意两法向量所成的角与二面角的平面角相等或互补,观察可知此二面角为钝角,所以此二面角的余弦值应为负数。(3)设为线段上一点,且,根据向量共线,可用表示出点坐标。分别求两个面的法向量,两面垂直,则两法向量也垂直,即数量积为0,从而可得的值,若所得内说明存在点满足条件,否则说明不存在。
证明:(1)因为为正四棱柱,
所以平面,且为正方形.                   1分
因为平面
所以.                                   2分
因为,
所以平面.                                      3分
因为平面,
所以.                                           4分
(2)如图,以为原点建立空间直角坐标系.则

               5分
所以.                       
设平面的法向量.
所以 .即  6分
,则.
所以.
由(1)可知平面的法向量为.                  7分
所以.                           8分
因为二面角为钝二面角,
所以二面角的余弦值为.                     9分
(3)设为线段上一点,且.
因为.
所以.                 10分
.
所以.                                    11分
设平面的法向量.
因为
所以 .即.                     12分
,则.
所以.                                     13分
若平面平面,则.
,解得.
所以当时,平面平面.                14分
核心考点
试题【已知正四棱柱中,. (1)求证:;(2)求二面角的余弦值;(3)在线段上是否存在点,使得平面平面,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.】;主要考察你对向量与空间位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图所示,空间中有一直角三角形为直角,,现以其中一直角边为轴,按逆时针方向旋转后,将点所在的位置记为,再按逆时针方向继续旋转后,点所在的位置记为.
(1)连接,取的中点为,求证:面
(2)求与平面所成的角的正弦值.

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已知三条不重合的直线和两个不重合的平面,下列命题正确的是(   )
A.若,则
B.若,且,则
C.若,则
D.若,且,则

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如图,在四棱柱中,底面ABCD和侧面都是矩形,E是CD的中点,
.
(1)求证:
(2)若平面与平面所成的锐二面角的大小为,求线段的长度.

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如图,四棱锥中,⊥底面,底面为菱形,点为侧棱上一点.
(1)若,求证:平面; 
(2)若,求证:平面⊥平面.

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如图,四棱锥中,底面为平行四边形,是正三角形,平面平面
(1)求证:
(2)求三棱锥的体积.

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