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题目
题型:不详难度:来源:
如图,在四棱柱中,底面ABCD和侧面都是矩形,E是CD的中点,
.
(1)求证:
(2)若平面与平面所成的锐二面角的大小为,求线段的长度.

答案
(1)证明过程详见解析;(2).
解析

试题分析:本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角等基础知识,考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问,由已知得,所以利用线面平行的判定得平面,再利用线面垂直的性质,得;第二问,可以利用传统几何法求二面角的平面角,也可以利用向量法求平面和平面的法向量,利用夹角公式列出方程,通过解方程,求出线段的长度..
(1)证明:∵底面和侧面是矩形,

又∵
平面   3分
平面 .        6分
(2)

解法1:延长交于,连结
则平面平面
底面是矩形, 的中点,,∴连结,则
又由(1)可知
又∵
底面,∴平面             9
,连结,则是平面与平面即平面与平面所成锐二面角的平面角,所以
,∴
又易得,从而由,求得.                   12分
解法2:由(1)可知
又∵底面                                7分
的中点,以为原点,以所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系如图.                                        8分

,则 
设平面的一个法向量

,得
,得                                                           9分
设平面法向量为,因为
 得,得.                  10分
由平面与平面所成的锐二面角的大小为
,解得. 即线段的长度为.  12分
核心考点
试题【如图,在四棱柱中,底面ABCD和侧面都是矩形,E是CD的中点,,.(1)求证:;(2)若平面与平面所成的锐二面角的大小为,求线段的长度.】;主要考察你对向量与空间位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,四棱锥中,⊥底面,底面为菱形,点为侧棱上一点.
(1)若,求证:平面; 
(2)若,求证:平面⊥平面.

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如图,四棱锥中,底面为平行四边形,是正三角形,平面平面
(1)求证:
(2)求三棱锥的体积.

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如图,已知三棱柱的侧棱与底面垂直,且
,点分别为的中点.
(1)求证:平面
(2)求证:
(3)求二面角的余弦值.

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如图,四棱锥中,底面为平行四边形,
底面
(1)证明:平面平面;
(2)若二面角大小为,求与平面所成角的正弦值.

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如图,四棱锥的底面是平行四边形,,设中点,点在线段上且
(1)求证:平面
(2)设二面角的大小为,若,求的长.

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