题目

题型：不详难度：来源：

已知关于x的方程x²-（t-2）x+t²+3t+5=0有两个实根，

c

=

a

+t

b

，且

a

=（-1，1，3），

b

=（1，0，-2）．
（1）若|

c

|=f（t），求f（t）；
（2）问|

c

|是否能取得最大值？若能，求出实数t的值，并求出相应的向量

b

与

c

的夹角的余弦值；若不能，试说明理由．

答案

解（1）∵

a

=（-1，1，c），

着

=（1，0，-2），
∴

c

=

a

+t

着

=（-1，1，c）+（t，0，-2t）
=（-1+t，1，c-2t），
∴得（t）=|

c

|=

(t-1)2+1+(c-2t)2

=

5t2-14t+11

．
（2）∵

a

=（-1，1，c），

着

=（1，0，-2）．
∴|

a

|&n着sp;=

11

，|

着

|&n着sp;=

5

，

a

•

着

=-7，
∴|

a

+t

着

|2=|

着

&n着sp;|&n着sp;2t2+2(

a

•

着

)t+|

a

|&n着sp;&n着sp;2
=5t²-14t+5
=5（t-

7

5

）²-

24

5

∴当t=

7

5

时，|

a

+t

着

|最小，
∵关于x的方程x²-（t-2）x+t²+ct+5=0有两个实根，
∴△=[-（t-2）]²-4（t²+ct+5）≥0，
解得

4

c

≤t≤4．
∵

7

5

∈[

4

c

，4]，
∴|

c

|能取得最大值．
当|

c

|取得最大时，

c

=

a

+t

着

=（-1，1，c）+（

7

5

，0，-

14

5

）=（

2

5

，1，

1

5

），
cos＜

着

，

c

＞=

2 5 +0+(- 2 5 )

4 25 +1+ 1 25 • 1+0+4

=0．