题目

题型：温州二模难度：来源：

已知向量

a

=(1，sinx)，

b

=(sin2x，cosx)，函数f(x)=

a

•

b

，x∈[0，

π

2

]．
（1）求f（x）的最小值和单调区间；
（2）若f(α)=

3

4

，求sin2α的值．

答案

f(x)=

a

•

b

=sin²x+sinxcosx=

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x=

1

2

（sin2x-cos2x）+

1

2

=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

（1）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]
∴当2x-

π

4

=-

π

4

，即x=0时，f（x）最小为-

2

2

×

2

2

+

1

2

=0
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπ，得-

π

8

+kπ≤x≤

3π

8

+kπ，
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ，得

3π

8

+kπ≤x≤

7π

8

+kπ，
取k=0，结合x∈[0，

π

2

]
∴函数f（x）的单调增区间为[0，

3π

8

]，单调减区间为[

3π

8

，

π

2

]
（2）∵f(α)=

3

4

，∴

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

=

3

4

∴sin（2x-

π

4

）=

2

4

∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]
∵0＜sin（2x-

π

4

）＜

1

2

∴2x-

π

4

∈（0，

π

6

）
∴cos（2x-

π

4

）=

14

4

∴sin2x=sin（2x-

π

4

+

π

4

）=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

2

2

cos（2x-

π

4

）=

2

2

（

2

4

+

14

4

）=

7 +1

4