题目

题型：不详难度：来源：

已知直线l的方向向量为

a

=（1，1），且过直线l₁：2x+y+1=0和直线l₂：x-2y+3=0的交点．
（1）求直线l的方程；
（2）若点P（x₀，y₀）是曲线y=x²-lnx上任意一点，求点P到直线l的距离的最小值．

答案

（1）由

2x+y+1=0 x-2y+3=0

可得

x=-1 y=1

由题意可得，直线l的斜率k=1，且过（-1，1）
∴直线l的方程为y-1=x+1即x-y+2=0
（2）当过点P的切线和直线y=x+2平行时，点P到直线y=x+2的距离最小．
由题意可得，y′=2x-

1

x

=1，
∴x=1，或 x=-

1

2

（舍去）
故曲线y=x²-lnx上和直线y=x+2平行的切线经过的切点坐标（1，1），
点（1，1）到直线y=x+2的距离d=

|1-1+2|

2

=

2

故点P到直线y=x-2的最小距离为

2