题目

题型：不详难度：来源：

已知|

a

|=1，|

b

|=2，

a

与

b

的夹角为60°．
（1）求

a

+

b

与

a

的夹角的余弦值；
（2）当|

a

+t

b

|取得最小值时，试判断

a

+t

b

与

b

的位置关系，并说明理由．

答案

（1）设

a

+

b

与

a

的夹角为θ，于是

a

•

b

=|

a

|•|

b

|cos60°=1，|

a

+

b

|=

( a + b )2

=

a 2+2 a • b + b 2

=

7

，于是cosθ=

( a + b )• a

| a + b |•| a |

=

2

7

=

2 7

7

．
（2）令|

a

+t

b

|=

4t2+2t+1

=

4(t+ 1 4 )2+ 3 4

，
当且仅当t=-

1

4

时，取得最小值，此时(

a

+t

b

)•

b

=

a

•

b

+4t=0，
所以(

a

+t

b

)⊥

b

．