已知向量OP1、OP2、OP3满足OP1+OP2+OP3=0，|OP1|=|OP2|=|OP3|=1．求证：△P1P2P3是正三角形． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知向量

OP1

、

OP2

、

OP3

满足

OP1

OP2

OP3

=0，|

OP1

|=|

OP2

|=|

OP3

|=1．
求证：△P₁P₂P₃是正三角形．

答案

证明：
法一：∵

OP1

OP2

OP3

=0，∴

OP1

OP2

OP3

．∴|

OP1

OP2

|=|-

OP3

|．
∴|

OP1

|²+|

OP2

|²+2

OP1

•

OP2

OP3

|²．
又∵|

OP1

|=|

OP2

|=|

OP3

|=1，
∴

OP1

•

OP2

．
∴|

OP1

OP2

|cos∠P₁OP₂=-

，
即∠P₁OP₂=120°．
同理∠P₁OP₃=∠P₂OP₃=120°．
∴△P₁P₂P₃为等边三角形．
法二：以O点为坐标原点建立直角坐标系，设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），
则

OP1

=（x₁，y₁），

OP2

=（x₂，y₂），

OP3

=（x₃，y₃）．
由

OP1

OP2

OP3

=0，
得

x1+x2+x3=0

y1+y2+y3=0.

∴

x1+x2=-x3

y1+y2=-y3.

，
由|

OP1

|=|

OP2

|=|

OP3

|=1，得x₁²+y₁²=x₂²+y₂²=x₃²+y₃²=1
∴2+2（x₁x₂+y₁y₂）=1
∴|

P1P2

(x1-x2)2+(y1-y2)2

x12+x22+y12+y22-2x1x2-2y1y2

2(1-x1x2-y1y2)

同理|

P1P3

，|

P2P3

∴△P₁P₂P₃为正三角形

核心考点

试题【已知向量OP1、OP2、OP3满足OP1+OP2+OP3=0，|OP1|=|OP2|=|OP3|=1．求证：△P1P2P3是正三角形．】；主要考察你对平面向量应用举例等知识点的理解。[详细]

举一反三

在△ABC中，（1）若

=a，

=b，求证：S_△ABC=

(|a

题型：b|)2-(a•b)2

；
（2）若

=（a₁，a₂），

=（b₁，b₂），求证：△ABC的面积S_△=

|a₁b₂-a₂b₁|．难度：| 查看答案

已知向量

=（cos

，sin

），

=（cos

，-sin

），且x∈[

，π]．
（1）求

•

及|

|；
（2）求函数f（x）=

•

|的最大值，并求使函数取得最大值时x的值．

题型：不详难度：| 查看答案

已知平面上直线l的方向向量

，-

)，点O（0，0）和A（1，-2）在l上的射影分别是O₁和A₁，则

O1A1

=λ

，其中λ等于______．

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设

，

为单位向量，

，

的夹角为60°，则（

）•

的最大值为______．

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已知向量

=(2cosx，sinx)，

=(cosx，2

cosx)，函数f（x）=

•

+1．
（1）求函数f（x）的单调递增区间．
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，a=1且f（A）=3，求△ABC面积S的最大值．

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