题目

题型：不详难度：来源：

已知向量

a

=（cos

3x

2

，sin

3x

2

），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），且x∈[

π

2

，π]．
（1）求

a

•

b

及|

a

+

b

|；
（2）求函数f（x）=

a

•

b

+|

a

+

b

|的最大值，并求使函数取得最大值时x的值．

答案

（1）∵向量

a

=（cos

3x

2

，sin

3x

2

），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），且x∈[

π

2

，π]．
∴

a

•

b

=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x，
|

a

+

b

|  =

(cos 3x 2 +cos x 2 )2+(sin 3 2 x+sin x 2 )2

=

2+2(cos 3x 2 cos x 2 -sin 3 2 xsin x 2 )

=

2+2cos2x

=2|cosx|，
∵x∈[

π

2

，π]，
∴cosx＜0．
∴|

a

+

b

|=-2cosx．
（2）f（x）=

a

•

b

+|

a

+

b

|
=cos2x-2cosx
=2cos²x-2cosx-1
=2（cosx-

1

2

）²-

3

2

，
∵x∈[

π

2

，π]，
∴-1≤cosx≤0，…（13分）
∴当cosx=-1，即x=π时，f_max（x）=3．