题目

题型：不详难度：来源：

已知向量a，b满足|a|=2|b|≠0，且关于x的函数f(x)=-2x3+3|

a

|x2+6

a

•

b

x+5在实数集R上是单调递减函数，则向量a，b的夹角的取值范围是（　　）

A．[0， π 6 ]

B．[0， π 3 ]

C．(0， π 3 ]

D．[ 2π 3 ，π]

答案

设向量

a

、

b

的夹角为θ
∵f(x)=-2x3+3|

a

|x2+6

a

•

b

x+5
∴f′(x)=-6x2+6|

a

|x +6

a

•

b

又∵函数f（x）是R上的单调减函数
∴f"（x）≤0在R上恒成立，得

-6＜0 △=36 |a| 2-4×(-6)×(6 a • b )≤0

，
解之得

a

•

b

≤-

1

4

|a|

2
∵

a

•

b

=

|a|

•

|b|

cosθ，且

|a|

=2

|b|

∴

|a|

•

|b|

cosθ=

1

2

|a|

²cosθ≤-

1

4

|a|

2，得cosθ≤-

1

2

∵θ∈[0，π]，∴向量

a

、

b

的夹角为θ∈[

2π

3

，π]．
故选D