题目

题型：不详难度：来源：

已知

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)， 

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)，且x∈[0，

π

2

]．
（1）求

a

•

b

及|

a

+

b

|；
（2）求函数f(x)=

a

•

b

-|

a

+

b

|sinx的最小值．

答案

（1）

a

•

b

=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x，
|

a

+

b

|=

(cos 3x 2 +cos x 2 )2+(sin 3x 2 +sin x 2 )2

=

2+2(cos 3x 2 cos x 2 -sin 3x 2 sin x 2 )

=

2+2cos2x

=2|cosx|
∵x∈[0，

π

2

]，∴cosx＞0．∴|

a

+

b

|=2cosx．

（2）f（x）=

a

•

b

-|

a

+

b

|sinx=cos2x-2cosxsinx
=cos2x-sin2x=

2

cos(2x+

π

4

)
∵x∈[0，

π

2

]∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

当2x+

π

4

=π即x=

3π

8

时f（x）有最小值为-sqrt{2}．