题目

题型：不详难度：来源：

已知

a

=(cos

3x

2

，sin

3x

2

)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)，且x∈[-

π

3

，

π

4

]．
（Ⅰ）求

a

•

b

及|

a

+

b

|
（Ⅱ）若f(x)=

a

•

b

-|

a

+

b

|，求f（x）的最大值和最小值．

答案

（Ⅰ）由题意可得：因为

a

=(cos

3x

2

，sin

3x

2

)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)，
所以

a

•

b

=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x，
所以|

a

+

b

|=

| a |2+| b |2+2 a • b

=2|cosx|=2cosx，x∈[-

π

3

，

π

4

]．
（Ⅱ）由（I）可得：f(x)=

a

•

b

-|

a

+

b

|
=cos2x-2cosx
=2cos²x-1-2cosx
=2(cosx-

1

2

)2-

3

2

∵x∈[-

π

3

，

π

4

]
∴cosx∈[

2

2

，1]，
设t=cosx，则t∈[

2

2

，1]，
所以y=2(t-

1

2

)2-

3

2

，
∴f(x)max=-1，f(x)min=-

2

．