题目

题型：0112 期中题难度：来源：

已知向量a=(cosα ，sinα)，b=(cosβ，sinβ)，且a与b之间满足关系：|ka+b|=|a-kb|，其中k>0。
（1）求将a与b的数量积用k表示的解析式f(k)；
（2）a能否和b垂直？a能否和b平行？若不能，则说明理由；若能，则求出对应的k值；
（3）求a与b夹角的最大值。

答案

解：（1）∵ |ka+b|=|a-kb|，
两边平方，得|ka+b|²=3|a-kb|²，
∴k²a²+2ka·b+b²=3(a²-2ka·b+k²b²)，
∵a=(cosα ，sinα)，b=(cosβ，sinβ)，　
∴a²=1，b²=1，
∴f(k)=。
（2）∵k²+1≠0，　
∴a·b≠0，故a与b不垂直，
若a//b，则|a·b|=|a||b|，即=1， 　　
又k>0，
∴k=2±。
（3）设a与b的夹角为θ，
∵a·b=|a||b|cosθ，
∴cosθ=，
由k>0， k²+1≥2k，得，
即cosθ≥，
∴a与b夹角的最大值为。