题目

题型：0104 模拟题难度：来源：

已知椭圆C：，F₁，F₂为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F₁PF₂的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），
（1）求椭圆C的离心率e；
（2）过焦点F₂的直线l与椭圆C相交于点M、N，若△F₁MN面积的最大值为3，求椭圆C的方程．

答案

解：（1）设，，则有：，
I的纵坐标为，，
∴
；
（2）由（1）可设椭圆C的方程为：，，
直线MN的方程为：x=my+c，代入，
可得：，
∴，
∴，
令，则有t≥1且，
∴，
易证g（t）在[1，+∞)单调递增，
∴，
∴的最小值为，
∴椭圆C的方程为。