题目
题型:镇江一模难度:来源:
(1)求f(x)在[1,+∞)上的最小值g(a);
(2)若a>0,试证明:“方程f(x)=2ax有唯一解”的充要条件是“a=
1 |
2 |
答案
x2-a |
x |
①a≤1,x>1,则f′(x)>0,∴f(x)在[1,+∞)上是单调递增函数,∴f(x)min=f(1)=1;
②a>1,x>1,令f′(x)=0,可得x=
a |
当x∈(1,
a |
a |
∴x=
a |
∴g(a)=
|
(2)证明:记g(x)=f(x)-2ax=x2-2alnx-2ax,则g′(x)=
2 |
x |
①充分性:若a=
1 |
2 |
1 |
x |
当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)在(0,1)上是单调递减函数;
当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上是单调递增函数,
∴当x=1时,g(x)min=g(1)=0,即g(x)≥0,当且仅当x=1时取等号,
∴方程f(x)=2ax有唯一解;
②必要性:若方程f(x)=2ax有唯一解,即g(x)=0有唯一解,令g′(x)=0,可得x2-ax-a=0,
∵a>0,x>0,∴x1=
a+
| ||
2 |
当x∈(0,x1)时,g′(x)<0,g(x)在(0,x1)上是单调递减函数;
当x∈(x1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在(x1,+∞)上是单调递增函数.
∴当x=x2时,g′(x1)=0,g(x)min=g(x1),∵g(x)=0有唯一解,∴g(x1)=0,
∴
|
∴
|
∴2alnx1+ax1-a=0
∵a>0
∴2lnx1+x1-1=0
设函数h(x)=2lnx+x-1
∵x>0时,h(x)是增函数,∴h(x)=0至多有一解.
∵h(1)=0,∴方程2lnx1+x1-1=0的解为x1=1,即x1=
a+
| ||
2 |
1 |
2 |
由①②知,“方程f(x)=2ax有唯一解”的充要条件是“a=
1 |
2 |
核心考点
试题【已知a为实数,函数f(x)=x2-2alnx.(1)求f(x)在[1,+∞)上的最小值g(a);(2)若a>0,试证明:“方程f(x)=2ax有唯一解”的充要条】;主要考察你对充要条件等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.充分不必要条件 | B.必要不充分条件 |
C.充要条件 | D.既不充分又不必要条件 |
命题甲:点(a,b)∈{(x,y)|
|
命题乙:点(a,b)∈A.
如果甲是乙的充分条件,那么区域A的面积的最小值是( )
A.1 | B.2 | C.3 | D.4 |
A.充分不必要条件 | B.必要不充分条件 |
C.充要条件 | D.既不充分也不不要条件 |
A.充分非必要条件 | B.必要非充分条件 |
C.充分且必要条件 | D.既非充分也非必要条件 |
最新试题
- 1(19分)近代以来中国经济发展长期落后于世界,改革开放以来中国经济横空出世,令世界瞩目。材料一 有学者这样描述中国近代经
- 2长江中上游和黄河中上游河流的共同特征为[ ]A、流量大B、有结冰期C、水能资源丰富D、含沙量大
- 3阅读下列材料: 材料一:祖国统一后,台湾特别行政区可以有自己的独立性,可以实现与大陆不同的制度。台湾还可以有
- 4已知的三边长为,内切圆半径为(用),则;类比这一结论有:若三棱锥的内切球半径为,则三棱锥体积
- 5(1)由光导纤维组成的光缆可以代替通讯电缆,用于光纤通信,传送高强度的激光.光导纤维主要成份的化学式是______.(2
- 6已知对R,函数都满足,且当时,,则( )A.B.C.D.
- 7对于万有引力定律的数学表达式F=,下列说法正确的是A.公式中G为引力常数,是人为规定的B.r趋近于零时,万有引力趋于无穷
- 8下图甲~丁表示四种农业地域类型的经营特色,其中表示季风水田农业的是( )A.甲B.乙C.丙D.丁
- 9羊肉泡馍的联想①在西安的时候,我带一位澳大利亚的朋友去吃羊肉泡馍,进得店,坐下,几个白生生的馍就端上来,说时迟那时快,老
- 10绝对值小于4的负整数是( )。
热门考点
- 1元朝和清朝先后加强对西藏地区的管辖,其相似之处是[ ]A.利用宗教实行政教合一统治B.设立专门管辖的机构C.设驻
- 2She likes singing, dancing and talking with others. But I of
- 3写作春暖花开,思绪便如花般绽放。面对这些花儿,你会回到某幕场景,想起某个人,记起某件事,牵动某份情,悟出某种道理 ……请
- 4在使用显微镜时,若发现视野中光线比较暗,则应改用A.大光圈、平面镜B.小光圈、平面镜C.大光圈、凹面镜D.小光圈、凹面镜
- 5一束白光斜射入半圆形的玻璃砖的圆心,如图所示,通过玻璃砖后有AB两条光线,可知( )A.A通过玻璃所需时间较短B.B通
- 6目前一些国家正在流行甲型H1N1病毒,医生是通过检查人的体温来诊断是否被感染。普通人的正常体温是______。现有一位疑
- 7 台湾自古以来就是中国不可分割的一部分,但是今天海峡两岸还未实现统一。这一问题是哪一次战争的历史遗留问题 [
- 8已知f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t),(t∈R是参数). (1)当t=–1时,解不等式f(x)≤g
- 9如图所示,由导体棒ab和矩形线框cdef组成的“10”图案在匀强磁场中一起向右匀速平动,匀强磁场的方向垂直线框平面向里,
- 10能更直观地看出某一方向上地面高低起伏状况的地形图是( )A.等高线地形图B.分层设色地形图C.地形剖面图D.政区图