题目
题型:不详难度:来源:
(x-a)2 |
x |
(I)证明:0<a<1是函数f(x)在区间(1,2)上递增的充分而不必要的条件;
(II)若x∈(-∞,0)时,满足f(x)<2a2-6恒成立,求实数a的取值范围.
答案
(x-a)2 |
x |
f′(x)=
2(x-a)x-(x-a)2 |
x2 |
x2-a2 |
x2 |
(x-a)(x+a) |
x2 |
先证充分性:若0<a<1,
∵1<x<2,∴x-a>0,x+a>0,
∴f"(x)>0
∴函数f(x)在区间(1,2)上递增.
再说明非必要性:∵f(x)在区间(1,2)上递增,
∴f"(x)≥0对1<x<2恒成立
即
x2-a2 |
x2 |
x2-a2≥0对1<x<2恒成立,
即a2≤x2对1<x<2恒成立,
∵1<x<2,∴1<x2<4,
∴a2≤1,即-1≤a≤1.即推不出0<a<1.
∴0<a<1是函数f(x)在区间(1,2)上递增的充分而不必要的条件
(II)由(I)知f′(x)=
x2-a2 |
x2 |
(x-a)(x+a) |
x2 |
令f"(x)=0,得x1=a,x2=-a
①当a=0时,f(x)=x,x∈(-∞,0)时,f(x)<-6不能恒成立,不符合题意.
②当a>0时,函数y=f(x)在(-∞,-a)上递增,在(-a,0)上递减,
∴函数y=f(x)在(-∞,0)上的极大值为f(-a)
若x∈(-∞,0)时,f(x)<2a2-6恒成立,
则需f(x)极大值=f(-a)<2a2-6
即-4a<2a2-6,
解得a>1.
③当a<0时,函数y=f(x)在(-∞,a)上递增,在(a,0)上递减,
∴函数y=f(x)在(-∞,0)上的极大值为f(a)
此时x∈(-∞,0),
若满足f(x)<2a2-6恒成立,
则需f(x)极大值=f(a)=0<2a2-6
解得a<-
3 |
故若x∈(-∞,0)时,满足f(x)<2a2-6恒成立,实数a∈(-∞,-
3 |
核心考点
试题【设函数f(x)=(x-a)2x.(I)证明:0<a<1是函数f(x)在区间(1,2)上递增的充分而不必要的条件;(II)若x∈(-∞,0)时,满足f(x)<2a】;主要考察你对充要条件等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
b |
1 |
b |
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
3 |
7 |
9 |
A.必要不充分条件 | B.充分不必要条件 |
C.充分必要条件 | D.既不充分又不必要条件 |
A.P是q的充分但不必要条件 |
B.p是q的必要但不充分条件 |
C.p是q的充分且必要条件 |
D.p是q的既不充分也不必要条件 |
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