题目

题型：不详难度：来源：

关于函数f（x）=

3

cos2x-sin2x，下列命题正确的是______．
（1）函数f（x）的图象关于直线x=

11π

12

对称；
（2）函数f（x）在区间（-

π

12

，

5π

12

）内是增函数；
（3）任意x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），则|x₁-x₂|=kπ，k∈Z
（4）将函数y=2cos2x的图象向左平移

π

12

个单位后得到y=f（x）图象．

答案

函数f（x）=

3

cos2x-sin2x=-2sin（2x-

π

3

）．
（1）当x=

11π

12

时，f（

11π

12

）=-2sin（2×

11π

12

-

π

3

）=-2sin

3π

2

=2为函数f（x）最大值，
所以x=

11π

12

是函数的一条对称轴，所以（1）正确．
（2）当x∈（-

π

12

，

5π

12

）时，-

π

6

＜2x＜

5π

6

，-

π

2

＜2x-

π

3

＜

π

2

，此时函数单调递减，所以（2）不正确．
（3）由于任意x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），则f（x₁）=f（x）|_最小值，f（x₂）=f（x）|_最大值，
则|x₁-x₂|=kπ，k∈N^*，故（3）不正确；
（4）由y=2cos2x的图象向左平移

π

12

个单位长度，
得到y=2cos2(x+

π

12

)=y=2cos(2x+

π

6

)=2sin[

π

2

-(2x+

π

6

)]=2sin(

π

3

-2x)═-2sin(2x-

π

3

)．
所以（4）正确．所以正确的是（1）（4）
故答案为：（1）（4）．