设命题p:∃x∈R,x2+2ax-a=0.命题q:∀x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1.如果命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围. |
∵∃x∈R,x2+2ax-a=0. ∴方程x2+2ax-a=0有解 ∴△=4a2+4a≥0即a≥0或a≤-1 ∴命题p为真时a的范围为a≥0或a≤-1 ∵∀x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1 ∴(a+2)x2+4x+a-1≥0在R上恒城立 ∴显然a=-2时不恒成立,因此有, 解得a≥2, ∴命题q为真时a的范围为a≥2. 又∵命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题 ∴p与q是一个为真一个为假 所以a∈(-∞,-1]∪[0,2) 所以实数a的取值范围为(-∞,-1]∪[0,2). |
核心考点
试题【设命题p:∃x∈R,x2+2ax-a=0.命题q:∀x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1.如果命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.】;主要考察你对
四种命题的概念等知识点的理解。
[详细]
举一反三
设x、y、z是空间不同的直线或平面,对下列四种情形: ①x、y、z均为直线;②x、y是直线,z是平面;③z是直线,x、y是平面;④x、y、z均为平面.其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是( ) |
已知命题“∃x∈R,x2+2ax+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-1) | B.(1,+∞) | C.(-∞,-1)∪(1,+∞) | D.(-1,1) |
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下列命题中的真命题是( )A.-= | B.若•=0,则=或= | C.(•)•=•(•) | D.若|| > ||,则2>2 |
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下列说法中,不正确的是( )A.命题p:∀x∈R,sinx≤1,则¬p:∃x∈R,sinx>1 | B.在△ABC中,“A>30°”是“sinA>”的必要不充分条件 | C.命题p:点(,0)为函数f(x)=tan(2x+)的一个对称中心.命题q:如果||=1,||=2,<,>=1200,那么在方向上的投影为1.则(¬p)∨(¬q)为真命题 | D.命题“在△ABC中,若sinA=sinB,则△ABC为等腰三角形”的否命题为真命题. |
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下列命题中: ①“x>|y|”是“x2>y2”的充要条件; ②若“∃x∈R,x2+2ax+1<0”,则实数a的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞); ③已知平面α,β,γ,直线m,l,若α⊥γ,γ∩α=m,γ∩β=l,l⊥m,则l⊥α; ④函数f(x)=()x-的所有零点存在区间是(,). 其中正确的个数是( ) |