题目

题型：不详难度：来源：

已知p：关于x的方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根，q：关于x的方程x²+mx+1=0的两实根都小于1，若p∧q是真命题，且￢（p∨q）是假命题，求实数m的取值范围．

答案

∵¬（p∨q）是假命题，
∴p∨q是真命题．
∵方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根，
∴△=16（m-2）²-4×4＜0，
∴1＜m＜3，
∴p为真命题时，实数m的取值范围为A={m|1＜m＜3}．
构造函数f（x）=x²+mx+1．
∵方程x²+mx+1=0有两个小于1的实根，
∴

f(1)=m+2＞0 - m 2 ＜1 △=m2-4≥0

，
解得：m≥2；
∴q为真命题时，实数m的取值范围为B={m|m≥2}，
∴p∧q是真命题时，实数m的取值范围是：
M=A∩B={m|1＜m＜3}∩{m|m≥2}={m|2≤m＜3}；
p∨q是真命题时，实数m的取值范围是：
N=A∪B={m|1＜m＜3}∪{m|m≥2}={m|m＞1}，
∴p∨q是真命题，即¬（p∨q）是假命题时，实数m的取值范围是：
M∩N={m|2≤m＜3}∩{m|m＞1}={m|2≤m＜3}，
综上所述，实数m的取值范围是[2，3）．