题目

题型：不详难度：来源：

给出下列命题：
①已知椭圆

x2

16

+

y2

8

=1两焦点F₁，F₂，则椭圆上存在六个不同点M，使得△F₁MF₂为直角三角形；
②已知直线l过抛物线y=2x²的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为2；
③若过双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则|OM|=a；
④根据气象记录，知道荆门和襄阳两地一年中雨天所占的概率分别为20%和18%，两地同时下雨的概率为12%，则荆门为雨天时，襄阳也为雨天的概率是60%．
其中正确命题的序号是（　　）

A．①③④

B．①②③

C．③④

D．①②④

答案

①椭圆的方程可知a=4，b=2

2

，c=2

2

，则焦点和短轴短点的三角形的角为θ，
则sin

θ

2

=

c

a

=

2 2

4

=

2

2

，则

θ

2

=

π

4

，所以θ=

π

2

，所以此时存在2个不同点M，使得△F₁MF₂为直角三角形，当θ≠

π

2

，则当F₁M⊥F₂F₁，或F₂M⊥F₂F₁，时，此时对应的M有四个，所以总共6个M，所以①正确．
②抛物线的标准方程为x2=

1

2

y，所以2p=

1

2

，根据抛物线的性质可知，过焦点的直线和抛物线相交，通径最最小，所以|AB|的最小值为

1

2

，所以②错误．
③双曲线的渐进性方程为y=±

b

a

x，不妨取bx-ay=0，焦点为（c，0），所以根据点到直线的距离公式得
d=

|bc|

a2+b2

=

bc

c

=b，所以|OM|=

c2-b2

=a，所以③正确．
④设一年中荆门下雨记为事件A，襄阳下雨记为事件B，则两市同时下雨记为事件AB，
所以p（A）=20%，p（B）=18%，p（AB）=12%，
则荆门为雨天时，襄阳也为雨天的概率为

P(AB)

P(A)

=

12%

20%

=60%，所以④正确．
故选A．