题目

题型：不详难度：来源：

定义：在数列中，若，（n≥2，n∈N*，p为常数），则称为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的有关判断：
①若是“等方差数列”，则数列是等差数列；②是“等方差数列”；
③若是“等方差数列”，则数列（k∈N*，k为常数）也是“等方差数列”；
④若既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数数列．
其中正确的命题为                ．（写出所有正确命题的序号）

答案

③④

解析

因为①：可以举反例．如a_n=0时数列不存在，所以①错误
②：对数列{（-2）ⁿ}有a_n²-a_n-1²=[（-2）ⁿ]²-[（-2）^n-1]²=4ⁿ-4^n-1不是常数，所以②错误
③：对数列{a_kn}有a_kn²-a_k（n-1）²=（a_kn²-a_kn-1²）+（a_kn-1²-a_kn-2²）+…+（a_kn-k+1²-a_kn-k²）=kp，而k，p均为常数，所以数列{a_kn}也是“等方差数列”，所以③正确
④：设数列{a_n}首项a₁，公差为d则有a₂=a₁+d，a₃=a₁+2d，所以有（a₁+d）²-a₁²=p，且（a₁+2d）²-（a₁+d）²=p，所以得d²+2a₁d=p，3d²+2a₁d=p，上两式相减得d=0，所以此数列为常数数列，所以④正确．
故答案为：③④