题目

题型：不详难度：来源：

甲、乙两人在一场五局三胜制的象棋比赛中，规定甲或乙无论谁先赢满三局就获胜，并且比赛就此结束．现已知甲、乙两人每比赛一局甲取胜的概率是

2

3

，乙取胜的概率为

1

3

，且每局比赛的胜负是独立的，试求下列问题：
（Ⅰ）比赛以甲3胜1而结束的概率；
（Ⅱ）比赛以乙3胜2而结束的概率；
（Ⅲ）设甲获胜的概率为a，乙获胜的概率为b，求a：b的值．

答案

（Ⅰ）每局比赛的胜负是独立的，这是一个相互独立事件同时发生的概率，
 比赛以甲3胜1而结束，则第四局一定甲胜，前三局中甲胜两局，
∴所求概率为：P=

C

23

×(

2

3

)2×

1

3

×

2

3

=

8

27

即比赛以甲3胜1而结束的概率为

8

27

．
（Ⅱ） 比赛以乙3胜2而结束，则第五局一定乙胜，前四局中乙胜两局，
∴所求概率为：P=

C

24

×(

1

3

)2×(

2

3

)2×

1

3

=

8

81

即比赛以乙3胜2而结束的概率为

8

81

（Ⅲ）甲先胜3局的情况有3种：3胜无败，3胜1败，3胜2败．这三种事件之间是互斥的，则其概率分别为    

C

33

(

2

3

)3=

8

27

，

C

23

×(

2

3

)2×

1

3

×

2

3

=

8

27

，

C

24

×(

2

3

)2×(

1

3

)2×

2

3

=

16

81

，
于是甲获胜的概率a=

8

27

+

8

27

+

16

81

=

64

81

∴乙获胜的概率b=1-a=

17

81

∴a：b=64：17．