题目

题型：不详难度：来源：

已知数列a_n的前n项和Sn=

3

2

(an-1)，n∈N₊．
（1）求a_n的通项公式；
（2）设n∈N₊，集合A_n={y|y=a_i，i≤n，i∈N₊}，B={y|y=4m+1，m∈N₊}．现在集合A_n中随机取一个元素y，记y∈B的概率为p（n），求p（n）的表达式．

答案

（1）因为Sn=

3

2

(an-1)，n∈N₊，所以Sn+1=

3

2

(an+1-1)．
两式相减，得Sn+1-Sn=

3

2

(an+1-an)，即an+1=

3

2

(an+1-an)，
∴a_n+1=3a_n，n∈N₊．（3分）
又S1=

3

2

(a1-1)，即a1=

3

2

(a1-1)，所以a₁=3．
∴a_n是首项为3，公比为3的等比数列．
从而a_n的通项公式是a_n=3ⁿ，n∈N₊．（6分）
（2）设y=a_i=3ⁱ∈A_n，i≤n，n∈N₊．
当i=2k，k∈N₊时，
∵y=3^2k=9^k=（8+1）^k=C_k⁰8^k+C_k¹8^k-1++C_k^k-18+C_k^k=4×2（C_k⁰8^k-1+C_k¹8^k-2++C_k^k-1）+1，∴y∈B．（9分）
当i=2k-1，k∈N₊时，
∵y=3^2k-1=3×（8+1）^k-1=3×（C_k-1⁰8^k-1+C_k-1¹8^k-2++C_k-1^k-28+C_k-1^k-1）
=4×6（C_k-1⁰8^k-2+C_k-1¹8^k-3++C_k-1^k-2）+3，∴y∉B．（12分）

又∵集合A_n含n个元素，
∴在集合A_n中随机取一个元素y，有y∈B的概率p（n）=

1 2 ，n为偶数 n-1 2n ，n为奇数

．（14分）