题目

题型：陕西省模拟题难度：来源：

在直角坐标坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP′，P′为垂足，
（1）求线段PP′中点M的轨迹C的方程；
（2）过点Q（-2，0）作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点（，0），且以为方向向量的直线上一动点，满足（O为坐标原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。

答案

解：（1）设M（x，y）是所求曲线上的任意一点，
P（）是方程的圆上的任意一点，则，
则有：，即，
代入得，轨迹C 的方程为；
（2）当直线l的斜率不存在时，与椭圆无交点，
所以设直线l的方程为y=k（x+2），与椭圆交于两点，
N点所在直线方程为，
由得（4＋），
由∴，
即，    
，
，即，
∴四边形OANB为平行四边形，
假设存在矩形OANB，
则，即，
即，
于是有，得，
设N（），由得，
即点N在直线x＝－上；
∴存在直线l使四边形OANB为矩形，直线l的方程为。