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题目
题型:聊城一模难度:来源:
已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为


3
3
,直线l:y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线l1过点F1,且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直于l1,垂足为点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程;
(3)过椭圆C1的左顶点A做直线m,与圆O相交于两点R、S,若△ORS是钝角三角形,求直线m的斜率k的取值范围.
答案
(1)由e=


3
3
,得
b2
a2
=1-e=
2
3
;(2分)
由直线l:x-y+2=0与圆x2+y2=b2相切,得
2


2
=|b|.所以,b=


2
,a=


3

所以椭圆的方程是
x2
3
+
y2
2
=1
.(4分)
(2)由条件,知|MF2|=|MP|.即动点M到定点F2的距离等于它到直线l1:x=-1的距离,由抛物线的定义得点M的轨迹C2的方程是y2=4x.                     (8分)
(3)由(1),得圆O的方程是x2+y2=2,A(-


3
,0),直线m的方程是y=k(x+


3
)

R(x1y1),S(x2y2),由





x2+y2=2
y=k(x+


3
)

(1+k2)x2+2


3
k2x+3k2-2=0
(10分)
x1+x2=-
2


3
k2
1+k2
x1x2=
3k2-2
1+k2

△=(2


3
k2)2-4(1+k2)(3k2-2)>0,得-


2
<k<


2
.①(12分)
因为△ORS是钝角三角形,所以


OR


OS
<0,即


OR


OS
=x1x2+y1y2
=x1x2+k2(x1+


3
)(x2+


3
)=(1+k2)x1x2+


3
k2(x1+x2)+3k2=
4k2-2
1+k2
<0

所以-


2
2
<k<


2
2
.②(13分)
由A、R、S三点不共线,知k≠0.                              ③
由①、②、③,得直线m的斜率k的取值范围是-


2
2
<k<


2
2
,且k≠0
(14分)
(注:其它解法相应给分)
核心考点
试题【已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为33,直线l:y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切.(1)求椭圆C1的方程;】;主要考察你对求轨迹方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
在平面直角坐标系xoy中,给定三点A(0,
4
3
),B(-1,0),C(1,0)
,点P到直线BC的距离是该点到直线AB,AC距离的等比中项.
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)若直线L经过△ABC的内心(设为D),且与P点的轨迹恰好有3个公共点,求L的斜率k的取值范围.
题型:广州一模难度:| 查看答案
已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为F(-


3
,0)
,右顶点为D(2,0),设点A(1,
1
2
)

(1)求该椭圆的标准方程;
(2)若P是椭圆上的动点,求线段PA中点M的轨迹方程;
(3)过原点O的直线交椭圆于点B,C,求△ABC面积的最大值.魔方格
题型:上海难度:| 查看答案
已知圆P过点F(0,
1
4
)
,且与直线y=-
1
4
相切.
(Ⅰ)求圆心P的轨迹M的方程;
(Ⅱ)若直角三角形ABC的三个顶点在轨迹M上,且点B的横坐标为1,过点A、C分别作轨迹M的切线,两切线相交于点D,直线AC与y轴交于点E,当直线BC的斜率在[3,4]上变化时,直线DE斜率是否存在最大值,若存在,求其最大值和直线BC的方程;若不存在,请说明理由?魔方格
题型:衢州一模难度:| 查看答案
动点在圆x2+y2=1上移动时,它与定点B(4,0)连线的中点轨迹方程是______.
题型:不详难度:| 查看答案
正方体ABCD-A1B1C1D1中,侧面AB1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等,则动点P的轨迹为一段(  )
题型:不详难度:| 查看答案
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A.圆弧B.双曲线弧C.椭圆弧D.抛物线弧