题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，已知圆C：（x+1）²+y²=8，顶点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0，点N的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）过点A且倾斜角是45°的直线l交曲线E于两点H、Q，求|HQ|．

答案

（1）设点N的坐标为（x，y），∵

AM

=2

AP

，∴点P为AM的中点，
∵

NP

•

AM

=0，∴NP⊥AM，∴NP是线段AM的垂直平分线，∴NM=NA，
又点N在CM上，设圆的半径是 r，则 r=2

2

，
∴NC=r-NM，∴NC+NM=NC+NA=r=2

2

＞AC，∴点N的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆，
∵2a=2

2

，c=1，∴b=1，∴椭圆 

x2

2

+y²=1，即曲线E的方程：

x2

2

+y²=1．
（2）∵过点A且倾斜角是45°的直线l交曲线E于两点H、Q，∴直线l方程为 y-0=x-1，
代入曲线E的方程得：3x²-4x=0，∴x₁+x₂=

2

3

，x₁•x₂=0，
由弦长公式得：|HQ|=

1+1

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 2

3

，