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题目
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曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论:
①曲线C过坐标原点;
②曲线C关于坐标原点对称;
③若点P在曲线C上,则△F1PF2的面积不大于
1
2
a2
其中,所有正确结论的序号是______.
答案
对于①,由题意设动点坐标为(x,y),则利用题意及两点间的距离公式的得:


(x+1)2+y2


(x-1)2+y2
=a2
⇔[(x+1)2+y2]•[(x-1)2+y2]=a4(1)将原点代入验证,此方程不过原点,所以①错;
对于②,把方程中的x被-x代换,y被-y 代换,方程不变,故此曲线关于原点对称.②正确;
对于③,由题意知点P在曲线C上,则△F1PF2的面积S△PF1F2=
1
2
×2×y

由(1)式平方化简的:y4+[(x+1)2+(x-1)2]y2+(x2-1)2-a4=0⇒y2=-x2-1+


4x2+a4
y2=-x2-1-


4x2+a4
(舍)  
把三角形的面积式子平方得:S△PF1F22 =y2 对于y2=-x2-1+


4x2+a4
(2)
 令


4x2+a4
=t(t≥a2>1)
x2=
t2-a4
4

代入(2)得y2=-
t2
4
+
a4
4
-1+t
=-
1
4
(t-2)2+
a4
4
a4
4

故可知S△PF1F2=
1
2
×2×y≤
1
2
a2 所以③正确.
故答案为:②③
核心考点
试题【曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论:①曲线C过坐标原点;②曲线C关于坐标原点对】;主要考察你对求轨迹方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知动点M在直线l:y=2的下方,点M到直l的距离与定点N(0,-1)的距离之和为4,求动点M的轨迹方程.
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已知点P(0,5)及圆C:x2+y2+4x-12y+24=0.
(1)若直线l过点P且与C交于M、N两点,当|MN|=4


3
时,求直线l的方程;
(2)求过点P的圆C的弦的中点Q的轨迹方程.
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设M是圆x2+y2-6x-8y=0上的动点,O是原点,N是射线OM上的点,若|OM|•|ON|=150,求点N的轨迹方程.
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在极坐标系中,从极点O作直线与另一直线l:ρcosθ=4相交于点M,在OM上取一点P,使


OM


OP
=12.
(1)求点P的轨迹方程;(2)设R为l上任意一点,试求RP的最小值.
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已知A(0,-4),B(0,4),|PA|-|PB|=2a,当a=3和4时,点P轨迹分别为(  )
A.双曲线和一条直线B.双曲线和两条射线
C.双曲线一支和一条直线D.双曲线一支和一条射线
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