题目

题型：不详难度：来源：

已知点P（x₀，y₀）是渐近线为2x±3y=0且经过定点（6，2

3

）的双曲线C₁上的一动点，点Q是P关于双曲线C₁实轴A₁A₂的对称点，设直线PA₁与QA₂的交点为M（x，y），
（1）求双曲线C₁的方程；
（2）求动点M的轨迹C₂的方程；
（3）已知x轴上一定点N（1，0），过N点斜率不为0的直线L交C₂于A、B两点，x轴上是否存在定点 K（x₀，0）使得∠AKN=∠BKN？若存在，求出点K的坐标；若不存在，说明理由．

答案

（1）可设c₁方程为 4x²-9y²=λ，又点（6，2

3

）在曲线上代入得λ=36．
所以双曲线C₁的方程为：

x2

9

-

y2

4

=1                      …（4分）
（2）由题意A₁（-3，0），A₂（3，0），Q（x₀，y₀）．
当P异于顶点时，KPA 1=

y

x+3

=

y0

x0+3

，KPA 2=

y

x-3

=

-y0

x0-3

所以 

y2

x2-9

=

-y02

x02-9

=-

4

9

   即  

x2

9

+

y2

4

=1，  (x≠±3)．
当P为顶点时直线PA₁与 QA₂的交点为顶点
所以      

x2

9

+

y2

4

=1．…（9分）
（3）设L交曲线C₂于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可设L方程为x=ty+1 （t≠0）
代入C₂方程得   （9+4t²）y²+8ty-5=0
y1+y2=

-8t

9+4t2

，y₁y₂=

-5

9+4t2

．
若存在N，则K_AN+K_BN=0  即 

y1

x1-xN

+

y2

x2-xN

=0．
∴y₁（ty₂+1-x_N）+y₂（ty₁+1-x_N）=0
即  2t•

-5

9+4t2

+（1-x_N）•

-8t

9+4t2

=0对t恒成立
所以  x_N=

9

4

故点N坐标为（

9

4

，0）…（14分）