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题目
题型:永州一模难度:来源:
已知动圆过定点A(2,0),且与直线X=-2相切.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;
(2)是否存在过点(0,1)的直线l,与轨迹C交于P,Q两点,且以线段PQ为直径的圆过定点A?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
答案
(1)由题意可知,圆心到定点A(2,0)的距离与到定直线X=-2的距离相等,
由抛物线定义可知,轨迹C为以A(2,0)为焦点,X=-2为准线的抛物线,
∴p=2,∴抛物线方程为y2=8x                  …(4分)
(2)假设存在直线l符合题意.…(5分)
由题意易知,直线l的斜率k存在且不为零,
又因过点(0,1),故设直线l的方程为y=kx+1,…(6分)
联立直线与抛物线方程得





y=kx+1
y2=8x
,消元整理得k2x2+(2k-8)x+1=0,
设交点坐标为P(x1,y1),Q(x2,y2),则△=(2k-8)2-4k2>0,∴k<2 ①
且x1+x2=-
2k-8
k2
x1x2=
1
k2
;                                         …(9分)


AP


AQ
=(x1-2,y1)•(x2-2,y2)=(k2+1)x1x2+(k-2)(x1+x2)+5
=(k2+1)•
1
k2
+(k-2)•(-
2k-8
k2
)+5=
4k2+12k-15
k2
=0
∴k=-
3
2
±


6
符合①,…(12分)
所以存在符合题意的直线l,其方程为y=(-
3
2
±


6
)x+1.…(13分)
核心考点
试题【已知动圆过定点A(2,0),且与直线X=-2相切.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;(2)是否存在过点(0,1)的直线l,与轨迹C交于P,Q两点,且以线段PQ为直】;主要考察你对求轨迹方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知圆C:(x+1)2+y2=25及点A(1,0),Q为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于M,则点M的轨迹方程为______.
题型:不详难度:| 查看答案
过点P(3,4)的动直线与两坐标轴的交点分别为A,B,过A,B分别作两坐标轴的垂线交于点M,则点M的轨迹方程为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知p>0,动点M到定点F(
p
2
, 0)
的距离比M到定直线l:x=-p的距离小
p
2

(I)求动点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设A,B是轨迹C上异于原点O的两个不同点,


OA


OB
=0
,求△AOB面积的最小值;
(Ⅲ)在轨迹C上是否存在两点P,Q关于直线m:y=k(x-
p
2
)(k≠0)
对称?若存在,求出直线m的方程,若不存在,说明理由.
题型:宣武区二模难度:| 查看答案
已知两定点A(-4,0)、B(4,0),一动点P(x,y)与两定点A、B的连线PA、PB的斜率的乘积为-
1
4
,求点P的轨迹方程,并把它化为标准方程,指出是什么曲线.
题型:上海难度:| 查看答案
已知动圆M过定点F(2,0),且与直线x=-2相切,动圆圆心M的轨迹为曲线C
(1)求曲线C的方程
(2)若过F(2,0)且斜率为1的直线与曲线C相交于A,B两点,求|AB|
题型:不详难度:| 查看答案
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