已知曲线C的方程为x2+ay2=1（a∈R）．（1）讨论曲线C所表示的轨迹形状；（2）若a≠-1时，直线y=x-1与曲线C相交于两点M，N，且|MN|=2，求曲 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：嘉定区一模难度：来源：

已知曲线C的方程为x²+ay²=1（a∈R）．
（1）讨论曲线C所表示的轨迹形状；
（2）若a≠-1时，直线y=x-1与曲线C相交于两点M，N，且|MN|=

，求曲线C的方程．

答案

（1）当a＜0时，曲线C的轨迹是焦点在x轴上的双曲线；…（1分）
当a=0时，曲线C的轨迹是两条平行的直线x=1和x=-1；…（1分）
当0＜a＜1时，曲线C的轨迹是焦点在y轴上的椭圆；  …（1分）
当a=1时，曲线C的轨迹是圆 x²+y²=1；          …（1分）
当a＞1时，曲线C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆．      …（1分）
（2）由

y=x-1

x2+ay2=1

，得（a+1）x²-2ax+a-1=0…①…（2分）
因为a≠-1，所以方程①为一元二次方程，△=4a²-4（a+1）（a-1）=4＞0，所以直线l与曲线C必有两个交点． …（1分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁，x₂为方程①的两根，所以x₁+x₂=

a+1

，x₁x₂=

a-1

a+1

，…（1分）
所以|MN|=

|x₁-x₂|=

(

a+1

)2-4×

a-1

a+1

，…（2分）
所以a²+2a-3=0，解得a=1或a=-3． …（2分）
因此曲线C的方程为x²+y²=1或x²-3y²=1． …（1分）

核心考点

试题【已知曲线C的方程为x2+ay2=1（a∈R）．（1）讨论曲线C所表示的轨迹形状；（2）若a≠-1时，直线y=x-1与曲线C相交于两点M，N，且|MN|=2，求曲】；主要考察你对求轨迹方程等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知定点A（0，0），动点B满足|

|=5，线段AB与圆：x²+y²=9交于点P，过点B作直线l垂直于x轴，过点P作PQ⊥l，垂足为Q．
（Ⅰ）求动点B的轨迹方程；
（Ⅱ）求点Q的轨迹方程；
（III）过点A作直线m，与点Q的轨迹交于M、N两点，C为点Q的轨迹上不同于M、N的任意一点，问k_CM•k_CN是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．

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若动点P到定点F（1，-1）的距离与到直线l：x-1=0的距离相等，则动点P的轨迹是（　　）

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A．直线

B．椭圆

C．双曲线

D．抛物线

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1，-3），N（5，1），若动点C满足

且点C的轨迹与抛物线y²=4x交于A，B两点．
（1）求证：

⊥

；
（2）在x轴上是否存在一点P（m，0）（m≠0），使得过点P的直线l交抛物线y²=4x于D，E两点，并以线段DE为直径的圆都过原点．若存在，请求出m的值及圆心M的轨迹方程；若不存在，请说明理由．

已知点A（-1，0）和圆C：（x-1）²+y²=16，动点B在圆C上运动，AB的垂直平分线交CB于P点，则P点的轨迹是（　　）

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热门考点

A．圆	B．椭圆	C．双曲线	D．抛物线
已知BC是圆x²+y²=25的弦，且\|BC\|=6，则BC的中点的轨迹方程是______．