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题目
题型:不详难度:来源:
已知点A(-


2
,0),B(


2
,0)
,P是平面内的一个动点,直线PA与PB交于点P,且它们的斜率之积是-
1
2

(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程,并求出曲线C的离心率的值;
(Ⅱ)设直线l:y=kx+1与曲线C交于M、N两点,当线段MN的中点在直线x+2y=0上时,求直线l的方程.
答案
(Ⅰ)设点P(x,y),∴kPA=
y
x+


2
kPB=
y
x-


2

则由已知得:
y
x+


2
y
x-


2
=-
1
2

整理得
x2
2
+y2=1
(x≠±


2
)

∴求得的曲线C的方程为
x2
2
+y2=1(x≠±


2
)

a2=2,b2=1,∴c=


2-1
=1

∴e=
c
a
=
1


2
=


2
2

(Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点(x0,y0),





x12+2y12=2
x22+2y22=2

①-②得,(
x21
-
x22
)+2(
y21
-
y22
)=0

(x1+x2)+2(y1+y2)•(
y1-y2
x1-x2
)=0
(x1≠x2),
又x1+x2=2x0,y1+y2=2y0
∴x0+2y0•k=0,
又∵x0+2y0=0,
以上两式联立解得直线l的斜率k=1.
∴直线l的方程为y=x+1.
核心考点
试题【已知点A(-2,0),B(2,0),P是平面内的一个动点,直线PA与PB交于点P,且它们的斜率之积是-12.(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程,并求出曲线C的离心率的】;主要考察你对求轨迹方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知圆O′:(x-1)2+y2=36,点A(-1,0),M是圆上任意一点,线段AM的中垂线l和直线O′M相交于点Q,则点Q的轨迹方程为(  )
A.
x2
9
-
y2
8
=1
B.
x2
8
+
y2
9
=1
C.
x2
9
+
y2
8
=1
D.
x2
8
-
y2
9
=1
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在平面直角坐标系中,A点坐标为(1,1),B点与A点关于坐标原点对称,过动点P作x轴的垂线,垂足为C点,而点D满足2


PD
=


PC
,且有


PA


PB
=2

(1)求点D的轨迹方程;
(2)求△ABD面积的最大值;
(3)斜率为k的直线l被(1)中轨迹所截弦的中点为M,若∠AMB为直角,求k的取值范围.
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已知定点A(0,1),B(0,-1),C(1,0),动点P满足:


AP


BP
=k|


PC
|2
(1)求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型;
(2)当k=2,求|2


AP
+


BP
|的最大,最小值.
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