题目

题型：月考题难度：来源：

已知定点A（﹣3，0），MN分别为x轴、y轴上的动点（M、N不重合），且AN⊥MN，点P在直线MN上，．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设点Q是曲线x²+y²﹣8x+15=0上任一点，试探究在轨迹C上是否存在点T？使得点T到点Q的距离最小，若存在，求出该最小距离和点T的坐标，若不存在，说明理由．

答案

解：（1）设点M、N的坐标分别为（a，0），（0，b），（a≠0，b≠0），点P的坐标为（x，y），则
，，
由AN⊥MN得3a﹣b²=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（*）
由得
∴代入（*）得
y²=4x
∵a≠0，b≠0
∴x≠0，y≠0
∴动点P的轨迹C的方程为y²=4x（x≠0）
（2）曲线x²+y²﹣8x+15=0，即（x﹣4）²+y²=1，是以B（4，0）为圆心，以1为半径的圆，
设 T为轨迹C上任意一点，连接TB，则
|TQ|+|QB|≥|TB||TQ|≥|TB|﹣1
∴当|TB|最小时，|TQ|最小．
∵点T在轨迹C上，
设点（m≠0）
∴=
当m²=8，即时，|TB|有最小值，
当m²=8时，
∴在轨迹C上是存在点T，其坐标为，使得|TQ|最小，
．