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题目
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已知抛物线C的顶点为(1,0),焦点在x轴上,若直线y=x+2交抛物线C于A、B两点,线段AB的中点坐标为(5,7),求抛物线C的方程.
答案
因为抛物线交直线y=x+2所得线段的中点为(5,7),
所以抛物线为开口向右的抛物线,
又抛物线C的顶点为(1,0),焦点在x轴上,
所以设抛物线C的方程为y2=2p(x-1),焦点为(
p
2
+1
,0)
直线y=x+2与抛物线C交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点.





y=x+2
y2=2p(x-1)
,得y2-2py+6p=0.
所以y1+y2=2p.
因为线段AB的中点坐标为(5,7),
所以y1+y2=2p=14,所以p=7.
所以抛物线C的方程为y2=14(x-1).
核心考点
试题【已知抛物线C的顶点为(1,0),焦点在x轴上,若直线y=x+2交抛物线C于A、B两点,线段AB的中点坐标为(5,7),求抛物线C的方程.】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知直线l被椭圆
x2
36
+
y2
9
=1
所截得的弦的中点为M(4,2),则l被椭圆截得的弦长为______.
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将圆x2+y2=4压扁得到椭圆C,方法是将该圆上的点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的


3
2
倍.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的左焦点为F1,右焦点F2,直线l过点F1且垂直于椭圆的长轴,点P为直线l上的动点,过点P且垂直于l的动直线l1与线段PF2垂直平分线交于点M,求点M的轨迹C′的方程;
(3)是否存在过点(0,-2)的直线l2与椭圆C相交于A、B两点,使以AB为直径的圆过点O(O是坐标原点),若存在,求直线l2的方程;若不存在,说明理由.

魔方格
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已知点A(-2,0),B(2,0)
(1)过点A斜率


3
3
的直线l,交以A,B为焦点的双曲线于M,N两点,若线段MN的中点到y轴的距离为1,求该双曲线的方程;
(2)以A,B为顶点的椭圆经过点C(1,


3
2
),过椭圆的上顶点G作直线s,t,使s⊥t,直线s,t分别交椭圆于点P,Q(P,Q与上顶点G不重合).求证:PQ必过y轴上一定点.
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已知点F(
1
2
,0)
,动圆P经过点F,与直线x=-
1
2
相切,设动圆的圆心P的轨迹为曲线W,且直线x-y=m与曲线W相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,O为坐标原点.
(1)求曲线W的方程;
(2)当m=2时,证明:OA⊥OB;
(3)当y1y2=-2m时,是否存在m∈R,使得


OA


OB
=-1?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
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(1)已知函数f(x)=|x-2|+|x-4|的最小值为m,实数a,b,c,n,p,q
满足a2+b2+c2=n2+p2+q2=m.
(Ⅰ)求m的值;     (Ⅱ)求证:
n4
a2
+
p4
b2
+
q4
c2
≥2

(2)已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为





x=2tcosθ
y=2sinθ
(t为非零常数,θ为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l的方程为ρsin(θ-
π
4
)=2


2

(Ⅰ)求曲线C的普通方程并说明曲线的形状;
(Ⅱ)是否存在实数t,使得直线l与曲线C有两个不同的公共点A、B,且


OA


OB
=10
(其中O为坐标原点)?若存在,请求出;否则,请说明理由.
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