已知抛物线x2=y,O为坐标原点. (Ⅰ)过点O作两相互垂直的弦OM,ON,设M的横坐标为m,用n表示△OMN的面积,并求△OMN面积的最小值; (Ⅱ)过抛物线上一点A(3,9)引圆x2+(y-2)2=1的两条切线AB,AC,分别交抛物线于点B,C,连接BC,求直线BC的斜率. |
(Ⅰ)设M(x1,x12),N(x2,x22). 由OM⊥ON得x1x2+x12x22=0,∴x1x2=-1. 因为x1=m,所以x2=-. 所以|OM|=,|ON|=. 所以n=S△OMN=|OM||ON|=××==1. 所以,当m=1时,△OMN面积取得最小值1. (Ⅱ)设B(x3,x32),C(x4,x42),直线AB的方程为y-9=k1(x-3),AC的方程为y-9=k2(x-3), 因为直线AB,AC与圆x2+(y-2)2=1相切, 所以==1. 所以4k12-21k1+24=0,4k22-21k2+24=0. 所以k1,k2 是方程4k2-21k+24=0的两根. 所以k1+k2=. 由方程组得x2-k1x-9+3k1=0. 所以x3+3=k1,同理可得:x4+3=k2. 所以直线BC的斜率为=x4+x3=k1+k2-6=-. |
核心考点
试题【已知抛物线x2=y,O为坐标原点.(Ⅰ)过点O作两相互垂直的弦OM,ON,设M的横坐标为m,用n表示△OMN的面积,并求△OMN面积的最小值;(Ⅱ)过抛物线上一】;主要考察你对
曲线与方程的应用等知识点的理解。
[详细]
举一反三
已知抛物线y2=2px的准线和双曲线-=1的左准线重合,则抛物线被双曲线的一条渐近线截得的弦长为( ) |
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为,且经过点(1,).若直线x+y-1=0与椭圆交于两点P,Q,求证:OP⊥OQ. |
直线y=kx-2与椭圆x2+4y2=80相交于不同的两点P、Q,若PQ的中点横坐标为2,则直线的斜率等于______. |
已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则|AB|=______. |
已知椭圆E的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合,对称轴为坐标轴,且经过点A(1,). (1)求椭圆E的方程; (2)过点D(0,)且斜率存在的直线l交椭圆E于M、N两点,线段MN的中点为Q,点B(-1,0),当l⊥QB时,求直线l的方程. |
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